题目

请帮忙证明一道数论题
(n-1)!整除（2n-2）!这个好难啊,答案的提示说用标准分解来讨论,但我怎么觉得这个和证明多***合数有点相矛盾啊!

提问时间：2021-01-03

答案

对某个素数p
(2n-2)!的分解式中p的指数=[(2n-2)/p]+[(2n-2)/p/p]+[(2n-2)/p/p/p]+...
则只需证下式
[(2n-2)/p]>=[(n-1)/p]+[n/p]这里的p的含义是代表了p^k,k为任意正整数
然后判断
设（n-1）/p=t+s其中t是个整数,0<=s<1
则即证2t+[2s]>=t+t+[s+1/p] （￥）式
若s<1/2则 易知1/p<=1/2 则 （￥）式成立
若s>=1/2则易知1/p<1 则易见 [s+1/p]<=1故易见（￥）式也成立
从而对任意素数p
它在（2n-2）!中的指数大于等于（n）!（n-1）!中的指数
从而上面这句话中后者整除前者,得证