题目

若函数f(x)=(√3+√3cos2x)/(2sin(π/2-x))-2a(sinx/2)cos(π-x/2) （a>0)的最大值为2
1.试确定常数a的值
2.若f(α-π/3)-4cosα=0,求（cosα^2+0.5sin2α)/(sinα^2-cos^2)

提问时间：2021-01-03

答案

(1)
f(x)=(√3+√3cos2x)/(2sin(π/2-x))-2a(sinx/2)cos(π-x/2)
=√3（1+cos2x)/(2cosx)-2asinx/2(-cosx/2)
=√3*2cos²x/(2cosx)+asinx
=√3cosx+asinx
=√(3+a²)sin(x+φ)
其中cosφ=a/√(3+a²),sinφ=√3/√(a²+3)
∵f(x)的最大值为2
∴√(3+a²)=2 ∴a²=1
∵a>0
∴a=1
(2)
由（1）知
f(x)=2sin(x+π/3)
∵f(α-π/3)-4cosα=0
∴2sinα-4cosα=0
∴sinα=2cosα,tanα=2
∴（cos²α+0.5sin2α)/(sin²α-cos²α)
=(cos²α+sinαcosα)/(sin²α-cos²α)
=(1+tanα)/(tan²α-1) （分子分母同时除以cos²α,化切）
=（1+2)/(4-1)
=1