题目

如图已知经过原点的抛物线y=ax2+bx(a不等于0)经过A(-2,2),B(6,6)两点已知过原点的抛物线y=ax2+bx+c经过
如图,已知经过原点的抛物线y=ax^2+bx(a≠0)经过A(-2,2),B(6,6)两点,与x轴的另一交点为F,直线AB与x轴交于C已知过原点的抛物线y=ax2+bx+c经过A(-2,2)B(6,6)两点,与x轴的另一交点为F,直线AB与x轴交于C,与y轴交于D,求（1）若点E为线段CF上的一个动点（F、C两点除外）,过点E作EG//BC交BF与点G,连结ED、GD,当三角形EDG的面积最大时,求E点的坐标
（2）点H（4,m）为抛物线上一点,在（1）的条件下,问：抛物线上是否存在点P,使△EPH为直角三角形,若存在,求出P点坐标

提问时间：2021-01-03

答案

经过A（-2,2）、B（6,6)两点的直线的解析式为：y=x/2+3
过原点的抛物线的解析式为：y=x^2/4-x/2,与x轴的另一个交点F（2,0）
经过B、F两点的直线的解析式为：y=3x/2-3
设E点的坐标为（a,0）   （a<0）
因为直线EG平行于直线AB,
所以直线EG的解析式为：y=x/2-a/2
所以直线EG与BF的交点的横坐标为 x=3-a/2,与y轴的交点坐标为H（0,-a/2）
所以OH=|-a/2|=-a/2  所以DH=3+a/2
因为点G到y轴的距离为|x|=|3-a/2| 
S△DEG=S△DEH+S△DHG
       =1/2×DH×OE+1/2×DH×|x|
       =1/2×（3+a/2）×|a|+1/2×（3+a/2）×（3-a/2）
    =-3x^2/8-3x/2+9/2   
因为-3/8<0,所以当x=-2时,S△DEG有最大值6,所以点E的坐标为（-2,0）.


（2）H（4,m）代入抛物线方程y=x^2/4-x/2得m=y=2,故点H为（4,2）,点E（-2,0）
设点P坐标为（p,p^2/4-p/2),依据题意知道EP⊥EH或者EP⊥PH或者PH⊥EH：
EH的斜率为：1/3
EP的斜率为：(p^2-2p)/(4p+8)
PH的斜率为：(p^2-2p-8)/(4p-16)=（p+2)/4,(p≠4)
依据前面所述,可得如下关系式：
【(p^2-2p)/(4p+8)】*（1/3）=-1,解得p=-4或者p=-6,点P为（-4,6）或者（-6,12）

【(p^2-2p)/(4p+8)】*【(p+2)/4】=-1,即：p^2-2p+16=0,无解.

【(p+2)/4】*（1/3）=-1,解得p=-14,点P为（-14,56）



故所求点P为（-4,6）或者（-6,12）或者（-14,56）