题目

已知正方形ABCD和等腰直角三角形BEF，按图①放置，使点F在BC上，取DF的中点G，连接EG、CG．

（1）探索EG、CG的数量关系，并说明理由；
（2）将图①中△BEF绕B点顺时针旋转45°得图②，连接DF，取DF的中点G，问（1）中的结论是否成立，并说明理由；
（3）将图①中△BEF绕B点转动任意角度（旋转角在0°到90°之间）得图③，连接DF，取DF的中点G，问（1）中的结论是否成立，请说明理由．

提问时间：2021-01-03

答案

（1）EG=CG．
证明：∵∠DEF=∠DCF=90°，DG=GF，∴EG＝

1

2

DF＝CG．
（2）（1）中结论成立，即EG=CG．
证明：过点F作BC的平行线，交DC的延长线于点M，连接MG．
∴EF=CM，易证四边形EFMC为矩形．
∴∠EFG=∠GDM．
在直角三角形FMD中，DG=GF，
∴FG=GM=GD．
∴∠GMD=∠GDM．∴∠EFG=∠GMD．
∴△EFG≌△CMG．∴EG=CG．
（3）成立．证明：取BF的中点H，连接EH，GH，取BD的中点O，连接OG，OC．
∵OB=OD，∠DCB=90°，
∴CO＝

1

2

BD．
∵DG=GF，BH=HF，OD=OB，
∴GH∥BO，且GH＝

1

2

BD；OG∥BF，且OG＝

1

2

BF．
∴CO=GH．
∵△BEF为等腰直角三角形，∴EH＝

1

2

BF．∴EH=OG．
∵四边形OBHG为平行四边形，
∴∠BOG=∠BHG．
∵∠BOC=∠BHE=90°，
∴∠GOC=∠EHG．
∴△GOC≌△EHG．∴EG=GC．