题目

设函数f（x），g（x）在[a，b]上内二阶可导且存在相等的最大值，又f（a）=g（a），f（b）=g（b），证明：
（Ⅰ）存在η∈（a，b），使得f（η）=g（η）；
（Ⅱ）存在ξ∈（a，b），使得f″（ξ）=g″（ξ）．

提问时间：2021-01-03

答案

证明：（I）由f（x），g（x）在（a，b）内存在相等的最大值，
①若在某点c∈（a，b）同时取得最大值，则f（c）=g（c），此时的c就是所求点，即存在η∈（a，b），使得f（η）=g（η）；
②若两个函数取得最大值的点不同，设f（c）=maxf（x），g（d）=maxg（x），f（c）=g（d）．
则有f（c）-g（c）＞0，g（d）-f（d）＜0，
因此函数F（x）=f（x）-g（x）在[c，d]或[d，c]上满足零点定理的条件，
故在（c，d）或（d，c）内肯定存在η，使得f（η）=g（η）
综合①②，存在η∈（a，b），使得f（η）=g（η）
（II）由（1）和洛尔定理在区间（a，η），（η，b）内分别存在一点{ξ}_{1}和{ξ}_{2}，使得
f（ξ₁）=0，f′（ξ₂）=0
在区间（ξ₁，ξ₂）内对函数F（x）=f（x）-g（x）用洛尔定理，即
∃ξ∈（ξ₁，ξ₂）⊂（a，b），F'（ξ）=f'（ξ）-g'（ξ）=0
即∃ξ∈（a，b），使得f″（ξ）=g″（ξ）．