题目

过抛物线y^2=2px的焦点的一条直线和此抛物线相交于两个点A(x1,y1)B(x2,y2)
求证（1）y1y2=-p^2
（2）x1x2=p^2/4
(3)|AB|=x1+x2+p

提问时间：2021-01-02

答案

1、
焦点(p/2,0)
若垂直x轴,是x=p/2
则y²=p²
y1=-p,y2=p
y1y2=-p²
若有斜率
y=k(x-p/2)
x=y/k+p/2
所以y²=2py/k+p²
y²-2py/k-p²=0
y1y2=-p²
综上
y1y2=-p²
2、
若垂直x轴,是x=p/2
则x1=x2=p/2
x1x2=p²/4
若有斜率
y=k(x-p/2)=kx-kp/2
所以k²x²-k²xp+k²p²/4=2px
k²x²-(k²p+2p)x+k²p²/4=0
x1x2=(k²p²/4)/k²=p²/4
综上
x1x2=p²/4
3、
由抛物线定义
抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离
准线是x=-p/2
所以A到准线距离=x1+p/2
B到准线距离=x2+p/2
所以AB=AF+BF
=A到准线距离+B到准线距离
=x1+p/2+x2+p/2
=x1+x2+p