题目

直线l过抛物线的焦点并且与抛物线y^2=2px相交于A(x1,y1)和B(x2,y2)两点
(1)求证4x1x2=p^2
(2)求证对于这条抛物线的任何给定一条弦CD,直线l不是CD的垂直平分线

提问时间：2021-01-02

答案

1.过抛物线y^2=2px(p>0)焦点F作倾斜角为θ的直线L,L与抛物线相交于A（x1,y1),B(x2,y2),有
① x1*x2 = p^2/4 ,y1*y2 = —P^2
2.设C、D的坐标分别为（2pt12,2pt1)与(2pt22,2pt2).
则kCD=
∴l的方程为y=-(t1+t2)•(x- )
∵直线l平分弦CD?
∴CD的中点（p(t12+t22),p(t1+t2)）在直线l上,即p(t1+t2)=-(t1+t2)〔p(t12+t22)- 〕,化简得?
p(t1+t2)(t12+t22+ )=0?
由p(t1+t2)≠0知t12+t22+ =0得到矛盾,所以直线l不可能是抛物线的弦CD的垂直平分线.