题目

设命题P：“任意x∈R，x²-2x＞a”，命题Q“存在x∈R，x²+2ax+2-a=0”；如果“P或Q”为真，“P且Q”为假，求a的取值范围．

提问时间：2021-01-02

答案

由命题 P：“任意x∈R，x²-2x＞a”，可得x²-2x-a＞0恒成立，故有△=4+4a＜0，a＜-1．
由命题Q：“存在x∈R，x²+2ax+2-a=0”，可得△′=4a²-4（2-a）=4a²+4a-8≥0，
解得 a≤-2，或 a≥1．
再由“P或Q”为真，“P且Q”为假，可得 p真Q假，或者 p假Q真．
故有

a＜−1 −2＜a＜1

，或

a≥−1 a≤−2 ，或a≥1

．
求得-2＜a＜-1，或 a≥1，即 a＞-2．
故a的取值范围为（-2，+∞）．

由命题 P成立，求得a＜-1，由命题Q成立，求得a≤-2，或 a≥1．由题意可得p真Q假，或者 p假Q真，故有

a＜−1 −2＜a＜1

，或

a≥−1 a≤−2 ，或a≥1

．解这两个不等式组，求得a的取值范围．

本题考点：复合命题的真假．

考点点评：本题主要考查命题真假的判断，二次不函数的性质，函数的恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．