题目

已知△ABC中A,B,C的对边分别为a,b,c且2cos^2B/2=根号3sinB,b=1,则边b上的高的最大值为___

提问时间：2021-01-02

答案

2cos^2B/2=√3sinB
余弦二倍角得
1+cosB=√3sinB
√3sinB-cosB=1
2(√3/2sinB-1/2cosB)=1
sin(B-π/6)=1/2
B-π/6=π/6或B-π/6=5π/6
B=π/3或B=π（舍去）
△ABC面积
=1/2*ac*sinB
=(√3/4)ac
余弦定理得
cosB=(a^2+c^2-1)/(2ac)
a^2+c^2-1=ac
∵a^2+c^2>=2ac
∴ac+1>=2ac
ac<=1
∴三角形ABC面积最大值=√3/4
∵三角形ABC面积=1/2*b*h
∴b上的高h的最大值为=(√3/4)/(1/2*b)=√3/2
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