题目

如图，矩形EFGH的边EF=6cm，EH=3cm，在平行四边形ABCD中，BC=10cm，AB=5cm，sin∠ABC=

3

5

提问时间：2021-01-02

答案

（1）作AM⊥BC，∵AB=5，sin∠ABC=3/5，
∴BM=4，AM=3，
①当GF边通过AB边的中点N时，
有BF=

1

2

BM=2，
∴t₁=3（s）．
②当EH边通过AB边的中点N时，
有BE=

1

2

BM=2，
∴BF=2+6=8，
∴t₂=8+1=9（s）．
③当GF边通过CD边的中点K时，
有CF=2，
∴t₃=1+10+2=13（s），
综上，当t等于3s或9s或13s时，矩形的一边恰好通过平行四边形的边AB或CD的中点．
（2）设当矩形运动到t（s）（7＜t＜11）时与平行四边形的重叠部分为五边形，
则BE=t-7，AH=4-（t-7）=11-t，
在矩形EFGH中，有AH∥BF，
∴△AHP∽△BEP，
∴

BE

HA

=

PE

PH

，
∴

11−t

t−7

＝

EP

3−EP

，
∴EP=

3(11−t)

4

，
∴S=18-

1

2

(11−t)×

3(11−t)

4

，
=−

3

8

（t-11）²+18（7＜t＜11），
由对称性知当11＜t＜15时重叠部分仍为五边形，
综上S与t的函数关系式为：S=−

3

8

（t-11）²+18（7＜t＜15且t≠11），
把s=16.5代入得：16.5=−

3

8

（t-11）²+18，
∴t₁=9，t₂=13，
即当t等于9s或13s时重叠部分的面积为16.5cm²．
（3）点Q从点C运动到点D所需的时间为：
5÷（

1

2

）=10（s），
此时，DG=1+14-10=5，
点Q从D点运动开始到与矩形相遇所需的时间为：

5

1+ 1 2

＝

10

3

，
∴矩形从与点Q相遇到运动到停止所需的时间为：5−

10

3

＝

5

3

，
从相遇到停止点Q运动的路程为：

1

2

×

5

3

＝

5

6

，

5

6

+

5

3

＝

5

2

＜6，
即点Q从相遇到停止一直在矩形的边GH上运动，
∴点Q在矩形的一边上运动的时间为：

5

3

s．