题目

如何建立(0,1)到[0,1]的一一映射?
该函数能否是连续函数?

提问时间：2021-01-02

答案

hezhiuiuc的构造是什么意思?y = |Sin(2πx)|,x∈(0,1)么?这个明明不是一一映射（只满不单）,是错的.
R->R连续当且仅当R中每个开集在f下的原像都是R中的开集（拓扑方法刻画连续性）,所以试图找出一个连续函数满足要求的性质是不可能的.
这里给出一个正确的构造方法：
无理数点不动,仍映为原来的数.
有理数点容易建立到自然数集{0,1,2,...}的映射（有好多构造方法,这里不说了）,我们把它们叫做0号点、1号点、2号点、……；然后再把2号点映到原来0号点的位置,把3号点映到原来1号点的位置,……；最后把剩下的0号点和1号点映到端点就行了.