题目

一道数列和不等式结合的题目
数列｛an｝为等差数列,an为正整数,其前n项和为Sn,数列｛bn｝为等比数列.且a1=3,b1=1,数列｛ban｝（an是在b的下面）是公比为64的等比数列.b2×S2=64
求证1/S1+2/S2+...+1/Sn

提问时间：2021-01-02

答案

(1) 由an 是等差数列知:a1=3,a2=3+d ；s2=a1+a2=6+d
bn是等比数列得：bn=q^(n-1),b2=q,又由
b2×S2=64 即q*（6+d）=64 记为一式；
b（an）是等比数列：b（a2）/b（a1）=q^d=64 记为二式
结合一二式解得：d=2,q=8
所以得：an=2n+1 ,bn=8^(n-1)
(2)由（1）知：sn=（a1+an）*n/2=n*(n+2)；
1/S1=1/(1*3) 1/2 *(1-1/3) ,1/S2=1/(2*4)=1/2*(1/2-1/4) ……
1/sn=1/（n*(n+2)）=1/2 *(1/n—1/n+2)
所以（2）
原式=1/2*(1-1/3 +1/2-1/4+1/3-1/5 +……+1/(n-1)-1/(n+1)+1/n -1/(n+2)
=1/2*(1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2))
=1/2*(n/(n+1)+n+1/(n+2)-1/2)