题目

如图，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论．

提问时间：2021-01-02

答案

EP=FQ，理由如下：
∵Rt△ABE是等腰三角形，
∴EA=BA，
∵∠PEA+∠PAE=90°，∠PAE+∠BAG=90°，
∴∠PEA=∠BAG，
在△EAP与△ABG中，

∠EPA＝∠AGB＝90° ∠PEA＝∠GAB EA＝AB

，
∴△EAP≌△ABG（AAS），
∴EP=AG，
同理△CAG≌△AGQ，
∴AG=FQ，
∴EP=FQ．

EP=FQ，理由为：由三角形ABE为等腰直角三角形，得到EA=BA，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，利用AAS得到三角形EAP与三角形ABG全等，利用全等三角形对应边相等得到EP=AG，同理三角形CAG与三角形AGQ全等，得到AG=FQ，等量代换即可得证．

本题考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．

考点点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．