题目

如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，

（1）求证：△ACE∽△CBE；
（2）若AB=8，设OE=x（0＜x＜4），CE²=y，请求出y关于x的函数解析式；
（3）探究：当x为何值时，tan∠D=

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提问时间：2021-01-02

答案

（1）证明：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°，即∠ACE+∠BCE=90°．又CD⊥AB，∴∠A+∠ACE=90°，∴∠A=∠ECB，∴Rt△ACE∽Rt△CBE；（2）∵△ACE∽△CBE，∴AECE＝CEEB，即CE2=AE•BE=（AO+OE）（OB-OE），∴y=（4+x）...

（1）要证两三角形相似，就要找出两组相等的对应角．已知了一组直角，而∠CAE和∠ECB都是∠ACE的余角，因此这两个角就相等，由此可证得两三角形相似；
（2）在直角△ACB中，根据射影定理，可得出CE²=AE•BE，其中CE²=y，AE=4+x，BE=4-x，由此可得出关于x，y的函数关系式．
（3）已知了∠D的正切值，也就知道了∠A的正切值，也就是CE，AE的比例关系式，（2）中已得出了CE²，AE的表达式，那么可根据CE，AE的比例关系求出x的值．

本题考点：二次函数综合题；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；射影定理；锐角三角函数的定义．

考点点评：本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识点．