题目

平面直角坐标系XOY中.A1A2B1B2为椭圆X^2/a^2+Y^2/b^2=1(a>b>0)的四个
平面直角坐标系XOY中.A1A2B1B2为椭圆X^2／a^2+Y^2／b^2=1（a＞b＞0）的四个顶点.F为右焦点.直线A1B1与直线A2B2相交于点T.线段OT与椭圆的焦点恰为OT的中点.求离心率e.不用导数）

提问时间：2021-01-02

答案

题目有误：直线A1B1与直线A2B2是平行线怎么能相交?
原题：
A1.B1.A2.B2为椭圆X^2/a+Y^2/b=1的四个顶点,F为右焦点,直线A1B2与直线B1F相交于T,线段OT与椭圆交M,M恰为OT中点,则该椭圆的离心率?
A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,b),B2(0,-b),F(c,0)
由直线的截距式有
A1B2：x/(-a)+y/(-b)=1
B1F：x/c+y/b=1
联立解得交点T坐标为
Tx=2ac/(a-c)
Ty=-[(a+c)b]/(a-c)
于是OT的中点M的坐标为
Mx=ac/(a-c)
My=-[(a+c)b]/[2(a-c)]
因M在椭圆上,则
[ac/(a-c)]^2/a^2+{-[(a+c)b]/[2(a-c)]}^2/b^2=1
引入c/a=e,并化简整理得e^2+10e-3=0
解得e=2√7-5
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