题目

在平面直角坐标系xyz中,已知抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),抛物线的对称轴L与X轴相交于点M.
连接AC,探索,在直线下方的抛物线上是否存在点N,是△NCA的面积最大?请写出N的坐标.图没有,麻烦自己画一下,谢啦,

提问时间：2021-01-02

答案

① 设抛物线的解析式为：y = a （x - 1）（x - 5）,将x = 0时y = 4代入得a = 4/5
∴ y = 4/5 （x - 1）（x - 5）
= 4/5 x² - 24/5 x + 4
= 4/5 (x - 3)² - 16/5
该抛物线的顶点为（3,- 16/5）
② 设直线AB的解析式为y = k x + b ,将x = 0时y = 4；x = 5时y = 0代入得k = - 4/5,b = 4.
则直线AB的解析式为y = - 4/5 x + 4
③假设直线AB下方存在符合条件的点N,过点N作直线AB的平行线,可设其解析式为 y = - 4/5 x + m ,则应有方程组 y = - 4/5 x + m 只有两个相同的解.
y = 4/5 x² - 24/5 x + 4
消元整理得：4x² - 20x + 20 - 5m = 0 应有
△ = 80m+80 = 0
m = - 1
则过点N的平行于AB的直线为y = - 4/5 x - 1
解方程组 y = 4/5 x² - 24/5 x + 4 得：x = 5/2
y = - 4/5 x - 1 y = - 3
综上所述,存在符合条件的点N,其坐标为（5/2,- 3）