题目

若直线y=x是曲线y=x³-3x²+ax的切线，则a=______．

提问时间：2021-01-02

答案

设切点P（x₀，x₀）
∵直线y=x是曲线y=x³-3x²+ax的切线
∴切线的斜率为1
∵y=x³-3x²+ax
∴y′︳x＝x0=3x²-6x+a︳x＝x0=3x₀²-6x₀+a=1①
∵点P在曲线上
∴x₀³-3x₀²+ax₀=x₀②
由①，②联立得

x0＝0 3 x 2 0 −6x0+a−1＝0

③或

x 2 0 −3x0+a−1＝0 3 x 2 0 −6x0+a−1＝0

④
由③得，a=1
由④得x₀²-3x₀=3x₀²-6x₀解得x₀=0或

3

2

，把x₀的值代入④中，得到a=1或

13

4

综上所述，a的值为1或

13

4

．
故答案为：1或

13

4

直线与曲线相切，直线已知，即可得出切线斜率，也就得出曲线的导数的方程，设出切点坐标，切点在曲线上，又得到一个方程，两个方程联立求解即可．

本题考点：导数的几何意义．

考点点评：本题为直线与曲线相切的试题，此题比较好，设计的计算比较多，要细心才能算对，应熟练掌握方程联立的计算问题等．