题目

已知F1,F2分别为椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1的左右焦点,过F1且与椭圆长轴垂直的直线交于A,B两点若△ABF2为等腰直角三角形,则这个椭圆的离心率是

提问时间：2021-01-02

答案

由已知得：F1=(-c,0),F2=(c,0),将x=-c代入方程x^2/a^2+y^2/b^2=1,解得y=正负b^2/a
所以A(-c,b^2/a),B=(-c,-b^2/a)
所以向量AF2=（2c,-b^2/a）,向量BF2=(2c,b^2/a)
因为△ABF2为等腰直角三角形,所以∠AF2B=90°
即向量AF2*向量BF2=4c^2-b^4/a^2=0
所以4a^2c^2-b^4=4a^2c^2-(a^2-c^2)^2=0
所以2ac=a^2-c^2,所以c^2+2ac-a^2=0,两边同时除以a^2得,e^2+2e-1=0
解得e=根号2-1或-根号2-1
又0