题目

证明可导函数一定连续,并举例说明连续函数一定可导

提问时间：2021-01-02

答案

1.证明可导函数一定连续:
设函数y=f(x)在点x处可导,即limΔy/Δx（Δx趋近于0）=f′（x）存在,由具有极限的函数与无穷小的关系知道,Δy/Δx=f′(x)+α,其中α是当Δx趋近于0时的无穷小,上式两边同乘以Δx得：Δy=f′(x)Δx+αΔx,由此可见,当Δx趋近于0时,y趋近于0.这就是说,函数y=f（x）在点x处是连续的（根据函数连续的定义）,所以可导必连续
2.但是需要说明的是连续函数不一定可导,楼主可能打错了吧,在此举例：y=|x|,此函数连续,但是在x=0处不可导.
3.由上面两点可得可导函数比连续函数的要求要高.