题目

已知f（x）=x²-x
已知f（x）=x²-x
当x∈[2,5]时,函数f(x)≥(m+1)x²-2(m∈R)恒成立,求m的取值范围
请问m=0时怎么会恒成立啊？
m=0的时候，x-2≤0要恒成立，x应该是小于或等于2的啊！怎么会恒成立呢？

提问时间：2021-01-02

答案

很简单.
由f（x）=x²-x且f(x)≥(m+1)x²-2
得 x²-x≥(m+1)x²-2(m∈R)恒成立
移项整理得：m≤(2-x)/x²=2/x² -1/x
设t=1/x,则上面不等式右边=2t²-t=2(t-1/4)²-1/8
由x∈[2,5],可得t∈[1/5,1/2].
所以,上面不等式右边=2t²-t=2(t-1/4)²-1/8在此区间的最小值为-1/8,当且仅当t=1/4时取得.
由此可知,m需≤-1/8,才能保证题设.
最后,m的范围是（-∞,-1/8].