题目

求一元三次方程的解
求Mx^3+Nx^2+Lx+O=0的解,此方程只有一实根,介于0与1之间
M,N,L,O为整数,且它们之和为定值,且它们复数解所构成一元二次方程的系数均为整数,求定值与M,N,L,O的进一步关系,这问题类似勾股定理的表达式中a,b,c它们的关系
我换个问法，一元三次方程要有一个唯一实根，Mx^3+Nx^2+Lx+O有因式分解(Ax+B)(Cx^2+Dx+E)，E均为整数，定值是一个殒质数，只有两个质因子求好像勾股定理一样的公式，求M，O能被其它若干个独立的因子表达出来的表达式
,取消实根在0~1之间

提问时间：2021-01-02

答案

这个不要用分解因式的办法.因为这样只能推得ABCDE与MNLO之间的关系.由这个关系来推MNLO之间的关系太复杂了.
先用一元三次方程的判别式来进行分析吧（只不过也是非常复杂）：
一元三次方程为 M x^3 + N x^2 + L x + O = 0
先令
A = N^2 - 3*M*L (1)
B = N*L - 9*M*O (2)
C = L^2 - 3*N*O (3)
判别式：delta = B^2 - 4*A*C (4)
当 delta>0 时只有一个实根,两个虚根
x1 = ( - N - Z )/(3M) (5)
x2 = ( -4N + 2*M*Z + i * Z/sqrt(3) ) / (2M) (6)
x3 = ( -4N + 2*M*Z - i * Z/sqrt(3) ) / (2M) (7)
其中
Z = Y1^(1/3) + Y2^(1/3) (8)
其中
Y1 = A*N + 3*M/2 * ( -B + sqrt(delta) ) (9)
Y2 = A*N + 3*M/2 * ( -B - sqrt(delta) ) (10)
要满足题目条件
x1在0和1之间：0 < ( - N - Z )/(3M)