题目

已知f（x）=m（x-2m）（x+m+3），g（x）=2^x-2，若∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0，则m的取值范围是（　　）
A. （-1，5）
B. （-4，0）
C. （-5，-1）
D. （-4，-1）

提问时间：2021-01-02

答案

∵g（x）=2^x-2，当x≥1时，g（x）≥0，
又∵∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0
∴此时f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立
则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在（1，0）的左面
则

m＜0 −m−3＜1   2m＜1

∴-4＜m＜0
故选B．

通过g（x）=2^x-2≥0时，x≥1，根据题意有f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＜0在x＞1时成立，根据二次函数的性质可求满足的条件，即可求解m的取值范围．

本题考点：函数恒成立问题；复合命题的真假．

考点点评：本题主要考查了全称命题与特称命题的成立，指数函数与二次函数性质的应用是解答本题的关键．