题目

已知f（x）=x²-ax，x∈[1，+∞）．
（1）求f（x）的最小值g（a）；
（2）求函数h（a）=g（a）-a²的最大值；
（3）写出函数h（a）的单调减区间．

提问时间：2021-01-02

答案

f(x)=(x-

a

2

)2-

a2

4

（1）当

a

2

＜1时，函数在[1，+∞）上单调增，∴f（x）的最小值g（a）=f（1）=1-a；
当

a

2

≥1时，f（x）的最小值g（a）=f(

a

2

)=-

a2

4

综上知，f（x）的最小值g（a）=

1-a，a＜2 - a2 4 ，a≥2

；
（2）h（a）=g（a）-a²=

1-a-a2，a＜2 - 5a2 4 ，a≥2

当a＜2时，h（a）=1-a-a²=-(a+

1

2

)2+

5

4

≤

5

4

；
当a≥2时，h(a)=-

5a2

4

≤-5
∴函数h（a）=g（a）-a²的最大值为

5

4

；
（3）由（2）知，函数h（a）的单调减区间为[-

1

2

，+∞）

（1）f(x)＝(x−

a

2

)2−

a2

4

，将函数的对称轴与区间联系起来，分类讨论，可求f（x）的最小值；
（2）h（a）=g（a）-a²=

1−a−a2，a＜2 − 5a2 4 ，a≥2

，分段求出函数的最大值，比较即可得到函数h（a）=g（a）-a²的最大值；
（3）由（2）可确定函数h（a）的单调减区间．

本题考点：二次函数在闭区间上的最值；二次函数的性质．

考点点评：本题考查二次函数的单调性与最值，考查分段函数，解题的关键是确定函数的解析式，属于中档题．