题目

双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)F是右焦点,P为双曲线右支上的一点,P在x轴上方,M为左准线上一点
O为坐标原点.OMPF为平行四边形,|PF|=λ|OF|.
(1)求双曲线的离心率e与λ的关系.
(2)λ＝1时,经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B两点,若|AB|＝12,求此时的双曲线方程.
（麻烦步骤）

提问时间：2021-01-02

答案

（1）设双曲线的右焦点F坐标是(c,0) ,c>0,左焦点为点E,则：
|OF|=c,|PF|=λ|OF|=λc
又由双曲线的（第一）定义可知：
|PE|-|PF|=2a
得|PE|=|PF|+2a=λc+2a
因为PM//OF即PM//x轴,而左准线垂直于x轴
所以PM垂直于左准线
即点P到左准线的距离就是线段|PM|的长
又在平行四边形OMPF中有：
|PM|=|OF|=c
则由双曲线的第二定义可得：
|PE|/|PM|=c/a
则离心率e=c/a
=|PE|/|PM|
=(λc+2a)/c
＝λ+2a/c
=λ+2/e
所以λ＝e-2/e
(2)由于点M在左准线x=-a²/c上,
故可设点M坐标为(-a²/c,y) ,点P(x,y) 其中x>0,y>0
则|MO|=√[(-a²/c)²+y²]
又λ＝1,则可知|PF|=|MO|=|OF|=c
所以|√[(-a²/c)²+y²]＝c
即y²＝c²-(a²/c)² (1)
又由第1小题知λ＝e-2/e
因为λ＝1,所以
e-2/e＝1
即e²-e-2=0
(e-2)(e+1)=0
因为e>1,所以解得e＝2
则c/a=2,得c＝2a
又b²＝c²－a²,则b＝√3 a
双曲线方程可化为：3x²-y²=3a² （2）
将c＝2a代入(1)式得：
y²＝4a²-(a²/2a)²=4a²-a²/4=15a²/4
解得y=√15a/2
则点P坐标可表示为(x,√15a/2)
又点P在此双曲线上,则将点P坐标代入双曲线方程(2)式得：
3x²-15a²/4=3a²
3x²=27a²/4
解得x＝3a/2
则点P坐标为(3a/2,√15a/2)
所以直线OP的斜率k(op)=(√15a/2)/(3a/2)=√15/3
即过焦点F(2a,0)且平行于OP的直线的斜率也等于√15/3
则由直线的点斜式方程得：
y-0=√15/3 *(x-2a)
即y=√15/3 *(x-2a)
√15x-3y-2√15 a=0
将此直线方程与双曲线方程3x²-y²=3a² 联立求交点A.B坐标
y=√15/3 *(x-2a)
3x²-y²=3a²
消去y得：3x²-5/3 *(x-a)²=3a²
即9x² －5x²+10ax－5a²＝9a²
4x²+10ax－14a²＝0
2x²+5ax－7a²＝0
(2x+7a)(x-a)=0
解得x1＝－7a/2,x2=a
由于|AB|=√(1+k²) *|x1-x2|=12
所以√(1+5/3) *|-7a/2-a|=12
(2√6)/3 *9a/2=12
解得a＝(2√6)/3
则b＝√3 a＝2√2
所以所求双曲线方程是：
x²/(8/3) - y²/8=1