题目

已知a，b是正整数且满足a²-b²=2013，求ab的值．

提问时间：2021-01-02

答案

∵方程a²-b²=2013的解是正整数，
∴a+b，a-b也为正整数，即（a+b）（a-b）=2013，
又∵2013可分解为1与2013、3与671、11与183、33与61，
①当2013分解为1与2013时，则

a−b＝1 a+b＝2013

，解得a=1007，b=1006，ab=1013042；
②当2013分解为3与671时，则

a−b＝3 a+b＝671

，解得a=337，b=334，ab=112558；
③当2013分解为11与183时，则

a−b＝11 a+b＝183

，解得a=97，b=86，ab=8342；
④当2013分解为33与61时，则

a−b＝33 a+b＝61

，解得a=47，b=14，ab=658．
故ab的值是1013042或112558或8342或658．

根据方程a²-b²=2013的正整数，则可确定a+b，a-b也为正整数解．将2013分解成正整数的相乘的形式．因而可分解为3×671、11×183、33×61这三种．再就这四种情况分别求出a、b的值，进一步求得ab的值．

本题考点：因式分解的应用．

考点点评：本题考查因式分解．解决本题的关键是将2013写成两个正整数相乘的形式、a²-b²写成（a+b）（a-b）的形式，并与前者对应相等，求解a、b．