题目

已知函数f(x)=x2+2x-3,集合M={(x,y)|f(x)+f(y)≤0},集合N={(x,y)|f(x)-f(y)≥0}则
求M与N的交集
请问f(x)-f(y)=0怎么化?

提问时间：2021-01-01

答案

对集合M={(x,y)|f(x)+f(y)≤0},有f(x)≤-f(y)
因f(x)=x2+2x-3为开口朝上的抛物线,故f(x)与-f(y)关于x轴（或y轴,令x轴与y轴重合）对称
故当f(x)≤-f(y)时,有f(x)=x2+2x-3≤0,解得-3≤x≤1,即-3≤M={x,y}≤1
对集合N={(x,y)|f(x)-f(y)≥0},有f(x)≥f(y)
因f(x)=x2+2x-3=(x+1)^2-4,曲线的对称轴为x=-1
当x,y≤-1时,函数f(x)为单调减函数,要使f(x)≥f(y),需x≤y
当x,y≥-1时,函数f(x)为单调增函数,要使f(x)≥f(y),需x≥y
即集合N的解为x≤y≤-1或x≥y≥-1
综上所述,M与N的交集为-3≤x≤y≤-1或-1≤y≤x≤1