题目
在抽象代数中怎样证明这个证明题:一个循环群G=的阶为n,a^m也为G的生成元的充分必要条件是:(m,n)=1
提问时间:2021-01-01
答案
证明:充分性:
由数论(m,n)=1的充分必要条件是存在整数s、t使
ms+nt=1,所以a=a^(ms+nt)=a^ms*(a^n)^t=a^ms
这说明a^m可以生成a,又G=,所以G可以由a^m生成.
必要性:因为G=,且a∈G,所以a^m可以生成a,即存在整数s满足a^ms=a,则a^(ms-1)=e,所以ms-1=nt,故ms+n(-t)=1,所以(m,n)=1
证毕!
由数论(m,n)=1的充分必要条件是存在整数s、t使
ms+nt=1,所以a=a^(ms+nt)=a^ms*(a^n)^t=a^ms
这说明a^m可以生成a,又G=,所以G可以由a^m生成.
必要性:因为G=,且a∈G,所以a^m可以生成a,即存在整数s满足a^ms=a,则a^(ms-1)=e,所以ms-1=nt,故ms+n(-t)=1,所以(m,n)=1
证毕!
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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