题目

点O是平面ABC上任意一点,点O是⊿ABC内心的充要条件是什么?（向量表达） 并证明……（重点）
请给予证明!

提问时间：2021-01-01

答案

已知O为三角形ABC的内心,a,b,c分别是A.B.C边所对边长.则aOA+bOB+cOC=0(OA,OB,OC均指向量)
证明：设三角形ABC,AD为BC边上的角平分线,内心为O.
|BC|=a,|AC|=b,|AB|=c
aOA+bOB+cOC
=aOA+b(AB+OA)+c(AC+OA)
=(a+b+c)OA+b(DB-DA)+c(DC-DA)
设BC的方向向量e,则DB=e|DB|,DC=-e|DC|
又由角平分线定理,|DB|/|DC|=c/b,所以bDB+cDC=0
(a+b+c)OA+b(DB-DA)+c(DC-DA)= (a+b+c)OA- b DA- c DA =aOA+(b+c)OD
又因为OA、OD反向,用角平分线定理和合比定理：
b/CD=c/BD=(b+c)/(CD+BD)=(b+c)/a,b/CD=OA/OD,
所以OA/OD=(b+c)/a ,又因为OA、OD反向,
故aOA+bOB+cOC=aOA+(b+c)OD =0.