题目

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D是棱AB的中点，BC=1，AA₁=

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．

（1）求证：BC₁∥平面A₁DC；
（2）求二面角D-A₁C-A的大小．

提问时间：2020-12-30

答案

（I）证明：连接AC1交A1C于点G，连接DG，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形ACC1A1是平行四边形，∴AC=GC1，∵AD=DB，∴DG∥BC1（2分）∵DG⊂平面A1DC，BC1⊄平面A1DC，∴BC1∥平面A1DC．（4分）（II）过点D作DE⊥AC交A...

（I）连接AC₁交A₁C于点G，连接DG，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形ACC₁A₁是平行四边形，则AC=GC₁，而AD=DB，则DG∥BC₁，DG⊂平面A₁DC，BC₁⊄平面A₁DC，根据线面平行的判定定理可知BC₁∥平面A₁DC．
（II）过点D作DE⊥AC交AC于E，过点D作DF⊥A₁C交A₁C于F，连接EF，而平面ABC⊥面平ACC₁A₁，DE⊂平面ABC，平面ABC∩平面ACC₁A₁=AC，
根据面面垂直的性质定理可知DE⊥平ACC₁A₁，则EF是DF在平面ACC₁A₁内的射影，则EF⊥A₁C，从而∠DFE是二面角D-A₁C-A的平面角，在直角三角形ADC中，求出DE、DF，即可求出∠DFE．

本题考点：直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题．

考点点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定定理以及二面角的求法．涉及到的知识点比较多，知识性技巧性都很强．