题目

一道高中数学题,关于椭圆的,等待高人解答.
椭圆中心在原点,焦点在X轴上,离心率e=根号3/2,它与直线X+Y=1交于P、Q两点,且OP垂直于OQ,求椭圆方程.

提问时间：2020-12-30

答案

∵椭圆中心在原点,焦点在X轴上,
∴可设椭圆的方程为x²/a²+y²/b²=1,（a>b>0）.
∵椭圆的离心率为√3/2,
∴c/a=√3/2,代入a²=b²+c²,
得a=2b,
∴椭圆的方程为x²/(4b²)+y²/b²=1.
设P(x1,y1),Q(x2,y2)
把椭圆和直线的方程联列方程组,消去y,得
5x²-8x-4b²+4=0
∴x1+x2=8/5,x1x2=(-4b²+4)/5,
y1y2=(-x1+1)(-x2+1)=x1x2-(x1+x2)+1
=(-4b²+4)/5-8/5+1
=(-4b²+1)/5
∵OP⊥OQ,
∴x1x2+y1y2=0,
(-4b²+4)/5+(-4b²+1)/5=0
得b²=5/8,a²=5/2,
∴椭圆方程为2x²+8y²=5.