题目

已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为C1D1,B1C1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q,求证：（1）D、B、F、E
已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为C1D1,B1C1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q,求证：
（1）D、B、F、E 四点共面；
（2）若A1C交平面DBFE于R点.则P、Q、R三点共线

提问时间：2020-12-30

答案

第一个问题：
∵E、F分别是C1D1、B1C1的中点,∴EF是△B1C1D1的中位线,∴EF∥D1B1.
∵ABCD－A1B1C1D1是立方体,∴BB1∥DD1、BB1＝DD1,∴BB1D1D是平行四边形,
∴DB∥DB1,结合证得的EF∥D1B1,得：EF∥DB,∴D、B、F、E共面.
第二个问题：
∵AC∩BD=P、A1C1∩EF=Q,∴EF是平面AA1C1C和平面DBFE的交线.
∵A1C交平面DBFE于R点,∴R是EF是平面AA1C1C和平面DBFE的一个公共点.
∵两相交平面的所有公共点都在这两平面的交线上,∴P、Q、R三点共线.