题目

如图,三角形的外接圆的圆心为0,AB=2,AC=3,BC=根号7,则向量AO×向量BC等于
 

提问时间：2020-12-30

答案

AO·BC是个定值,与BC都没有关系
令外接圆半径为：R
即：|OA|=|OB|=|OC|=R
AO·BC=AO·(OC-OB)
=OA·OB-OA·OC
=R^2cos-R^2cos
=R^2(2R^2-|AB|^2)/(2R^2)-R^2(2R^2-|AC|^2)/(2R^2)
=R^2-|AB|^2/2-R^2+|AC|^2/2
=|AC|^2/2-|AB|^2/2
=9/2-2=5/2
--------------------------------------------
或者：取AB边中点D,AC边中点E
则：OD⊥AB,OE⊥AC
故：cos(∠OAB)=|AD|/|AO|=1/R
cos(∠OAC)=|AE|/|AO|=3/(2R)
AO·BC=AO·(AC-AB)
=AO·AC-AO·AB
=R*|AC|cos(∠OAC)-R*|AB|(∠OAB)
=3*R*3/(2R)-R*2/R
=9/2-2
=5/2