题目

已知a＞0,函数f（x）=ax-bx的二次方当b＞0时,若对任意x∈R都有f（x）≦1,证明a≦2根号b
(1)当b＞0时,若对任意x∈R都有f（x）≦1,证明a≦2根号b
(2)当b＞1时,证明：对任意x∈[0,1],都有│f（x）│≦1的充要条件是b-1≦a≦2根号b
(3)当0提问时间：2020-12-30

答案

f(x)=ax-bx^2=-b(x-a/2b)^2+a^2/4b,函数过点(0,0),对称轴x=a/2b
(1)当b>0时,抛物线开口向下,若对任意x∈R都有f(x)≤1,那么最高点a^2/4b≤1,a^2≤4b,由于a＞0,b＞0,所以a≤2√b,得证
(2)当b＞1时,对于x∈[0,1]会出现两种情况：①对称轴x=a/2b≥1,即在[0,1]上抛物线是单调增函数,x=1时有最大值a-b.由a/2b≥1可得a≥2b,那么a-b≥2b-b=b＞1,不符合|f（x）|≤1,所以这种情况不在考虑之内；②对称轴x=a/2b＜1,由于a＞0,b＞1,所以对称轴在[0,1]内,那么如果要求|f(x)|≤1,最高点a^2/4b≤1,解得a≤2√b.这时要考虑当x=1时的情况,如果当x=1时,f(1)＜0,那么还要保证f(1)≥-1,即a-b≥-1,a≥b-1.综合得到b-1≤a≤2√b.反过来当b-1≤a≤2√b时也一定能保证|f(x)|≤1(倒过来证一下即可),所以对任意x∈[0,1],|f(x)|≤1的充要条件是b-1≤a≤2√b