题目
在数列{an}中,an+Sn=n2+2n-1,n属于N* 令bn=an*(1/2)的n-1次方,证:b1+b2+b3+.+bn
提问时间:2020-12-30
答案
证明:∵an+Sn=n²+2n-1,∴a(n+1)+S(n+1)=(n+1)²+2(n+1)-1
则a(n+1)-an+S(n+1)-Sn=(n+1)²+2(n+1)-1-(n²+2n-1)
有2a(n+1)-an=2n+3 ; 整理:2[a(n+1)-2(n+1)+1]=an-2n+1
∵a1+S1=1²+2*1-1 ;∴2a1=2 ;则a1=1;a1-2*1+1=0
则2[a(n+1)-2(n+1)+1]=an-2n+1=0 ;故an=2n-1 n∈N* ;
则bn=an*(1/2)^(n-1)=(2n-1)*(1/2)^(n-1) n∈N* ;
又bn=(2n-1)*(1/2)^(n-1)=2n*(1/2)^(n-1)-(1/2)^(n-1)
则bn+(1/2)^(n-1)=n*(1/2)^(n-2)=(1/2)^(n-2)+(1/2)^(n-2)+•••+(1/2)^(n-2)-(1/2)^(n-1) 即n个(1/2)^(n-2)相加
则b1+b2+b3+•••+bn+(1/2)^(1-1)(1-1/2^n)/(1-1/2)=(1/2)^(1-2)+[(1/2)^(2-2)+(1/2)^(2-2)]+[(1/2)^(3-2)+(1/2)^(3-2)+(1/2)^(3-2)]+•••+[(1/2)^(n-2)+(1/2)^(n-2)+•••+(1/2)^(n-2)]=[(1/2)^(1-2)+(1/2)^(2-2)+(1/2)^(3-2)+•••+(1/2)^(n-2)]+[(1/2)^(2-2)+(1/2)^(3-2)+•••+(1/2)^(n-2)]+[(1/2)^(3-2)+1/2)^(4-2)+•••+(1/2)^(n-2)]+•••+[(1/2)^(n-3)+(1/2)^(n-2)]+(1/2)^(n-2)=2(1-1/2^n)/(1-1/2)+[1-1/2^(n-1)]/(1-1/2)+1/2[1-1/2^(n-2)]/(1-1/2)+•••+(1/2)^(n-3)(1-1/2²)/(1-1/2)+(1/2)^(n-2)(1-1/2)/(1-1/2)=2{1/2^(-1)(1-1/2^n)+1/2^0[(1-1/2^(n-1)]+1/2^1[1-1/2^(n-2]+•••+(1/2)^(n-2)(1-1/2)/}=2[1/2^(-1)+1/2^(0)+1/2^1+•••+(1/2)^(n-2)-n/2^(n-1)]=2[4(1-1/2^n)-n/2^(n-1)]=8-1/2^(n-3)-n/2^(n-2)
故b1+b2+b3+•••+bn+(1/2)^(1-1)(1-1/2^n)/(1-1/2)
=b1+b2+b3+•••+bn+2-1/2^(n-1)=8-1/2^(n-3)-n/2^(n-2)
则:b1+b2+b3+•••+bn=6+1/2^(n-1)-1/2^(n-3)-n/2^(n-2)=6-3/2^(n-3)-n/2^(n-2)
则a(n+1)-an+S(n+1)-Sn=(n+1)²+2(n+1)-1-(n²+2n-1)
有2a(n+1)-an=2n+3 ; 整理:2[a(n+1)-2(n+1)+1]=an-2n+1
∵a1+S1=1²+2*1-1 ;∴2a1=2 ;则a1=1;a1-2*1+1=0
则2[a(n+1)-2(n+1)+1]=an-2n+1=0 ;故an=2n-1 n∈N* ;
则bn=an*(1/2)^(n-1)=(2n-1)*(1/2)^(n-1) n∈N* ;
又bn=(2n-1)*(1/2)^(n-1)=2n*(1/2)^(n-1)-(1/2)^(n-1)
则bn+(1/2)^(n-1)=n*(1/2)^(n-2)=(1/2)^(n-2)+(1/2)^(n-2)+•••+(1/2)^(n-2)-(1/2)^(n-1) 即n个(1/2)^(n-2)相加
则b1+b2+b3+•••+bn+(1/2)^(1-1)(1-1/2^n)/(1-1/2)=(1/2)^(1-2)+[(1/2)^(2-2)+(1/2)^(2-2)]+[(1/2)^(3-2)+(1/2)^(3-2)+(1/2)^(3-2)]+•••+[(1/2)^(n-2)+(1/2)^(n-2)+•••+(1/2)^(n-2)]=[(1/2)^(1-2)+(1/2)^(2-2)+(1/2)^(3-2)+•••+(1/2)^(n-2)]+[(1/2)^(2-2)+(1/2)^(3-2)+•••+(1/2)^(n-2)]+[(1/2)^(3-2)+1/2)^(4-2)+•••+(1/2)^(n-2)]+•••+[(1/2)^(n-3)+(1/2)^(n-2)]+(1/2)^(n-2)=2(1-1/2^n)/(1-1/2)+[1-1/2^(n-1)]/(1-1/2)+1/2[1-1/2^(n-2)]/(1-1/2)+•••+(1/2)^(n-3)(1-1/2²)/(1-1/2)+(1/2)^(n-2)(1-1/2)/(1-1/2)=2{1/2^(-1)(1-1/2^n)+1/2^0[(1-1/2^(n-1)]+1/2^1[1-1/2^(n-2]+•••+(1/2)^(n-2)(1-1/2)/}=2[1/2^(-1)+1/2^(0)+1/2^1+•••+(1/2)^(n-2)-n/2^(n-1)]=2[4(1-1/2^n)-n/2^(n-1)]=8-1/2^(n-3)-n/2^(n-2)
故b1+b2+b3+•••+bn+(1/2)^(1-1)(1-1/2^n)/(1-1/2)
=b1+b2+b3+•••+bn+2-1/2^(n-1)=8-1/2^(n-3)-n/2^(n-2)
则:b1+b2+b3+•••+bn=6+1/2^(n-1)-1/2^(n-3)-n/2^(n-2)=6-3/2^(n-3)-n/2^(n-2)
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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