题目

在抛物线y=x²上求一点P，使过点P的切线和直线3x-y+1=0的夹角为

π

4

．

提问时间：2020-12-29

答案

由导数的定义得y'=2x，设曲线上一点P的坐标为（x₀，y₀），则该点的切线的斜率等于k_p=2x₀
根据夹角公式可得到|

2x0−3

1+2x0•3

|＝1
解得：x0＝−1或x0＝

1

4

由x₀=-1得y₀=1
由x0＝

1

4

得y0＝

1

16

∴P（-1，1）或P（

1

4

，

1

16

）

先根据导数的定义对y=x²进行求导，即可表示出过P的切线的斜率，根据夹角公式可得到|

2x0−3

1+2x0•3

|＝1，得到x₀的值，进而可得P的坐标．

本题考点：抛物线的应用．

考点点评：本题主要考查导数的几何意义和夹角公式的应用．属基础题．