题目

已知函数f（x）=x³+ax²-2ax+3a²，且在f（x）图象一点（1，f（1））处的切线在y轴上的截距小于0，则a的取值范围是（　　）
A. （-1，1）
B. (

2

3

，1)
C. (−

2

3

，1)
D. (−1，

2

3

)

提问时间：2020-12-29

答案

由题意f'（x）=3x2+2ax-2a∴f′（1）=3，f（1）=3a2-a+1，即函数f（x）图象在点（1，f（1））处的切线斜率为3，∴图象在点（1，f（1））处的切线方程为y-（3a2-a+1）=3（x-1），令x=0得y=3a2-a-2，由题意得3a2-a-2＜...

先求函数的导函数f′（x），再求所求切线的斜率即f′（1），由于切点为（1，f（1）），故由点斜式即可得所求切线的方程，最后利用切线在y轴上的截距小于0建立不等关系求解即可．

本题考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，考查计算能力和等价转化能力，是一道中档题．