题目
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=8cm,AB=6cm,BC=10cm,点Q从点A出发以1cm/s的速度向点D运动,点P从点B出发以2cm/s的速度在线段BC间往返运动,P、Q两点同时出发,当点Q到达点D时,两点同时停止运动.
(1)当t为何值时,四边形PCDQ的面积为36cm2?
(2)当t为何值时,四边形PCDQ为平行四边形?
(3)当t为何值时,四边形PCDQ是等腰梯形?
(4)当t为何值时,△DPQ是等腰三角形?
(1)当t为何值时,四边形PCDQ的面积为36cm2?
(2)当t为何值时,四边形PCDQ为平行四边形?
(3)当t为何值时,四边形PCDQ是等腰梯形?
(4)当t为何值时,△DPQ是等腰三角形?
提问时间:2020-12-28
答案
(1)∵AD=8cm,BC=10cm,点Q的速度是1cm/s,点P的速度是2cm/s,
∴QD=AD-AQ=8-t,
CP=BC-AP=10-2t,
∴当点P未到达点C时,四边形PCDQ的面积=
(8-t+10-2t)×6=36,
解得t=2;
当点P到达点C返回时,四边形PCDQ的面积=
(8-t+2t-10)×6=36,
解得t=14秒(不符合题意,舍去);
所以,t=2s时,四边形PCDQ的面积为36cm2;
(2)①P未到达C点时,
∵四边形PCDQ是平行四边形,
∴8-t=10-2t,
解得t=2;
②P到达C点并返回时,
∵四边形PCDQ是平行四边形,
∴8-t=2t-10,
解得t=6,
答:t为2或6时,四边形PCDQ为平行四边形;
(3)若四边形为等腰梯形,则只有点P到达点C,再返回后才能构成等腰梯形,
过点D作DF⊥BC,QE⊥BC,
则PE=CF=10-8=2cm,EF=DQ=8-t,
2t-10=4+(8-t),解得:t=
.
(4)①如图,若PQ=PD,过P作PE⊥AD于E,
则QD=8-t,QE=
QD=
(8-t),
AE=AQ+QE=t+
(8-t)=
(8+t),
∵AE=BP,
∴
(8+t)=2t,
解得t=
;
若点P到达点C,再返回后,PQ=PD,
则t+
=10-(2t-10),
解得:t=
;
②如图,若QD=QP,过Q作QF⊥BC于F,
则QF=6,FP=2t-t=t,
在Rt△QPF中,由勾股定理得:
QF2+FP2=QP2,
即62+t2=(8-t)2,
解得t=
,
若QD=PD,过D作DE⊥BC于E,
则QD=8-t,PE=8-2t,
在Rt△DPE中,由勾股定理得:62+(8-2t)2=(8-t)2,
此方程无解;
综上所述,当t=
或
或
时,△DPQ是等腰三角形.
∴QD=AD-AQ=8-t,
CP=BC-AP=10-2t,
∴当点P未到达点C时,四边形PCDQ的面积=
1 |
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解得t=2;
当点P到达点C返回时,四边形PCDQ的面积=
1 |
2 |
解得t=14秒(不符合题意,舍去);
所以,t=2s时,四边形PCDQ的面积为36cm2;
(2)①P未到达C点时,
∵四边形PCDQ是平行四边形,
∴8-t=10-2t,
解得t=2;
②P到达C点并返回时,
∵四边形PCDQ是平行四边形,
∴8-t=2t-10,
解得t=6,
答:t为2或6时,四边形PCDQ为平行四边形;
(3)若四边形为等腰梯形,则只有点P到达点C,再返回后才能构成等腰梯形,
过点D作DF⊥BC,QE⊥BC,
则PE=CF=10-8=2cm,EF=DQ=8-t,
2t-10=4+(8-t),解得:t=
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(4)①如图,若PQ=PD,过P作PE⊥AD于E,
则QD=8-t,QE=
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AE=AQ+QE=t+
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∵AE=BP,
∴
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解得t=
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若点P到达点C,再返回后,PQ=PD,
则t+
8−t |
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解得:t=
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②如图,若QD=QP,过Q作QF⊥BC于F,
则QF=6,FP=2t-t=t,
在Rt△QPF中,由勾股定理得:
QF2+FP2=QP2,
即62+t2=(8-t)2,
解得t=
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若QD=PD,过D作DE⊥BC于E,
则QD=8-t,PE=8-2t,
在Rt△DPE中,由勾股定理得:62+(8-2t)2=(8-t)2,
此方程无解;
综上所述,当t=
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举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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