题目

函数F（X)的定义域为R,若F（X+1)与F(X_1)都是奇函数,证明F(X+3)是奇函数.

提问时间：2020-12-28

答案

证明：函数定义域为R,
且f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,
∴f(-x+1)=-f(x+1)………………①
f(-x-1)=-f(x-1)…………………②
由①令-x+1=t得：f(t)=-f(2-t)…………③
由②令-x-1=t得：f(t)=-f(-2-t)………④
由③、④得f(2-t)=f(-2-t）由此令-2-t=m得f(m)=f(4+m)
因此函数f(x)的周期为4,
∴由②可知：
f(-x+3)=-f(x+3)
∴f(x+3)为奇函数.