题目

计算三重积分 ∫∫∫Zdv,其中Ω是由上球面Z=根号(4-x^2-y^2 )及拉面x^2+y^2=1.平面Z=0所围成的区域.
感激不尽!

提问时间：2020-12-28

答案

这是柱面、锥面与z=0所围区域,你需要自己会画图,这个立体在锥面之内,柱面之外.
本题最简单的方法是截面法（先2后1）,先做二重积分,再对z作定积分.
用z平面截立体,所得截面为一圆环Dz：1≤x²+y²≤4-z²
当x²+y²=1时,锥面中的z=√3,因此z的范围是：0→√3
下面首先在Dz上作二重积分,然后再对z做定积分：
∫∫∫zdv
=∫[0→√3]zdz ∫∫(Dz) dxdy 其中Dz：1≤x²+y²≤4-z²
这个二重积分很简单,由于被积函数为1,积分结果就是圆环的面积π(4-z²-1)=π(3-z²)
=π∫[0→√3] z(3-z²) dz
=π∫[0→√3] (3z-z³) dz
=π[(3/2)z²-(1/4)z^4] |[0→√3]
=π(9/2-9/4)
=9π/4