题目

1.在△ABC中,三边为a b c ,BC边上的高AD=BC,则b/c+c/b范围是多少?
2.各项均为正向的等比数列,Sn=2,S3n=14,求S4n=?
3.在△ABC中,三边为a b c ,若1/a,1/b,1/c成等差数列,则b所对角是什么角?

提问时间：2020-12-28

答案

1.在△ABC中,三边为a b c ,BC边上的高AD=BC,则b/c+c/b范围是多少?
c^2+b^2-2bc>=0
c^2+b^2>=2bc
原式=(c^2+b^2)/bc>=2
S=1/2a*AD=1/2a^2=1/2bcsinA
所以
原式=(c^2+b^2-a^2)/bc+a^2/bc
=2cosA+sinA
=5 ^0.5 *sin(A+B)(显然可取到根号5)
2.各项均为正向的等比数列,Sn=2,S3n=14,求S4n=?
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=2
S3n=a1(1-q^3n)/(1-q)=14
所以(1-q^3n)/(1-q^n)=7
q^2n+q^n+1=7 q^n=2或-3(舍去） 则a1/(1-q)=-2(舍去）或1/2
S4n=a1(1-q^4n)/(1-q)=30或-40(舍去）
Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n成等比数列
2,S2n-2,14-S2n成等比数列
(S2n-2)^2=2(14-S2n)
解得:S2n=-4,S2n=6
∵各项均为正数的等比数列{an}
∴S2n=6
∴2,4,8,S4n-14成等比数列
∴S4n-14=16
即:S4n=30
3.在△ABC中,三边为a b c ,若1/a,1/b,1/c成等差数列,则b所对角是什么角?
由题意：(1/a)+(1/c)=2/b 得b=2ac/(a+c)
根据余弦定理：
cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)
=[(a+c)^2-2ac-4a^2c^2/(a+c)^2]/(2ac)
=(a+c)^2/(2ac)-2ac/(a+c)^2-1
令k=(a+c)^2/(2ac),很容易证明k>=2并且当a=c的时候取等号
我们知道函数f(k)=k-(1/k)在k>=2的情况下是增函数,于是cosB>=2-(1/2)-1=1/2,从而Bb
所以2/b>b/ac
即：b平方(a+b)平方/2ac>0
所以为B锐角