题目

点i是三角形abv的内心,ai的延长线与bc相交于点d,与三角形abc的外接圆相交于点e,求证ei2=de×ae

提问时间：2020-12-28

答案

【点I是⊿ABC的内心】
证明：
连接BI,BE
∵内心是角平分线的交点
∴AI平分∠BAC,∠BAD=∠CAD
BI平分∠ABC,∠ABI=∠DBI
∵∠CAD=∠EBD
∴∠BAD=∠EBD
又∵∠AEB=∠BED【公共角】
∴⊿ABE∽⊿BDE（AA‘）
∴AE/BE=BE/DE,转化为BE²=DE×AE
∵∠BIE=∠BAD+∠ABI
∠EBI=∠EBD+∠CBI
∴∠BIE=∠EBI
∴BE=EI
∴EI²=DE×AE