题目

已知圆x²+y²=1，过这个圆上任意一点P作y轴的垂线段PD，D为垂足，求线段PD的中点M的轨迹．

提问时间：2020-12-28

答案

设点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x₀，y₀）．
∵PD⊥y轴于D，
∴点D坐标为（0，y₀），
∵M为PD的中点，
∴

x＝ x0 2 y＝ y0+y0 2 ＝y0

，即

x0＝2x y0＝y

（1）
∵P（x₀，y₀）在圆上，
∴x02+y02＝1（2）
把（1）代入（2）得4x²+y²=1，即

x2

1 4

+y2＝1．
∴的轨迹是一个椭圆．

设出点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x₀，y₀），由PD⊥y轴得到D的坐标，再由M为PD的中点把P的坐标用M的坐标表示，代入圆的方程得答案．

本题考点：轨迹方程．

考点点评：本题考查了轨迹方程的求法，考查了代入法，是中档题．