题目

偏导数与全导数的关系 以及 偏微分与全微分的关系
希望能从代数意义与几何意义两个方面解答,最好有例子.不胜感激
z=f(xy,x^2-y^2)的全导数怎么求？

提问时间：2020-12-27

答案

1.偏导数
代数意义
偏导数是对一个变量求导,另一个变量当做数
对x求偏导的话y就看作一个数,描述的是x方向上的变化率
对y求偏导的话x就看作一个数,描述的是y方向上的变化率
几何意义
对x求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线
对y求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线
这里在补充点.就是因为偏导数只能描述x方向或y方向上的变化情况,但是我们要了解各个方向上的情况,所以后面有方向导数的概念.
2.微分
偏增量：x增加时f(x,y)增量或y增加时f(x,y)
偏微分：在detax趋进于0时偏增量的线性主要部分
detaz=fx（x,y）detax+o(detax)
右边等式第一项就是线性主要部分,就叫做在（x,y）点对x的偏微分
这个等式也给出了求偏微分的方法,就是用求x的偏导数求偏微分
全增量：x,y都增加时f(x,y)的增量
全微分：根号(detax方+detay方）趋于0时,全增量的线性主要部分
同样也有求全微分公式,也建立了全微分和偏导数的关系
dz=Adx+Bdy 其中A就是对x求偏导,B就是对y求偏导
希望楼主注意的是导数和微分是两个概念,他们之间的关系就是上面所说的公式.概念上先有导数,再有微分,然后有了导数和微分的关系公式,公式同时也指明了求微分的方法.
3.全导数
全导数是在复合函数中的概念,和上面的概念不是一个系统,要分开.
u=a(t),v=b(t)
z=f[a(t),b(t)]
dz/dt 就是全导数,这是复合函数求导中的一种情况,只有这时才有全导数的概念.
dz/dt=(偏z/偏u)(du/dt)+(偏z/偏v)(dv/dt)
建议楼主在复合函数求导这里好好看看书,这里分为3种情况.1.中间变量一元就是上面的情况,才有全导数的概念.2.中间变量有多元,只能求偏导 3.中间变两有一元也有多元,还是求偏导.
对于你的题能求对x的偏导数,对y的偏导数,z的全微分,不能求全导数
如果z=f(x^2,2^x) 只有这种情况下dz/dx才是全导数!