题目

一个几何概率题
如图,设有一个4*4网格,其各个最小的正方形的边长为4,现用直径为2的硬币投掷到此网格上,设每次投掷硬币都落在最大的正方形内或与最大的正方形有公共点.
(1)求硬币落下后完全在最大的正方形内的概率;
(2)求硬币落下后与网格线没有公共点的概率.
麻烦写出过程和结果,

提问时间：2020-12-27

答案

设硬币落在与最大的正方形相切所占面积为At,则
∵硬币中心在(4×4-1)×(4×4-1)的正方形各边上,
∴At=4×4×4×4-(4×4-1)×(4×4-1)=31
∴(1)硬币落下后完全在最大的正方形内的概率:
Pin=1-At/A=1-31/(16×16)=0.8789
同理:与4*4网格中其中一个小网格的4×4大小正方形相切所占面积为At1
则 At1=4×4-(4-1)×(4-1)=7
∴(2)硬币中心落在小网格内的3×3大小正方形各边内,
即落下后完全在每个4×4小网格中3×3大小正方形内的概率,
∴落下后与网格线没有公共点的概率 :Pno-c=4×4×Pin1=4×4×3×3/16×16=0.5625
或 P1in=1-Pt1=(1-At1/4×4)=0.5625 ∴Pno-c =P1in