题目

一道抽象函数题目
f（x）是R上的函数,对任意的实数x、y都满足f（x+y）=f（x）+f（y）,当x＞0时,f（x）＞0,且f（2）=3.
（1）判断函数的奇偶性,并证明.
（2）求函数在区间[-1,3]的值域.
f（3）不是应该等于4.为什么是3？

提问时间：2020-12-27

答案

（1）奇函数,证明如下：
令x=y=0得f(0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0
令y=-x得f(0)=f(x)+f(-x),∴f(x)+f(-x)=0
∴f(-x)=-f(x),从而f(x)是奇函数.
(2)f(2)=f(1)+f(1),f(2)=3得f(1)=1.5；由（1）知f(-1)=-1.5
f(3)=f(2)+f(1)=3+1.5=4.5
任取x1,x2,且-1≤x10
∴f(x2-x1)>0从而f(x1)-f(x2)