题目
求拉氏变换的终值定理,越详细越好,最好有证明
提问时间:2020-12-27
答案
拉普拉斯变换(英文:Laplace Transform),是工程数学中常用的一种积分变换.
如果定义:
f(t),是一个关于t,的函数,使得当t0,;
f(t)
= mathcal ^ left
=frac int_ ^ F(s),e^ ,ds
c,是收敛区间的横坐标值,是一个实常数且大于所有F(s),的个别点的实部值.
为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换.对一个实变量函数作拉普拉斯变换,并在复数域中作各种运算,再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果,往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多.拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效,它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理,从而使计算简化.在经典控制理论中,对控制系统的分析和综合,都是建立在拉普拉斯变换的基础上的.引入拉普拉斯变换的一个主要优点,是可采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性.这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性(见信号流程图、动态结构图)、分析控制系统的运动过程(见奈奎斯特稳定判据、根轨迹法),以及综合控制系统的校正装置(见控制系统校正方法)提供了可能性.
用 f(t)表示实变量t的一个函数,F(s)表示它的拉普拉斯变换,它是复变量s=σ+j&owega;的一个函数,其中σ和&owega; 均为实变数,j2=-1.F(s)和f(t)间的关系由下面定义的积分所确定:
如果对于实部σ >σc的所有s值上述积分均存在,而对σ ≤σc时积分不存在,便称 σc为f(t)的收敛系数.对给定的实变量函数 f(t),只有当σc为有限值时,其拉普拉斯变换F(s)才存在.习惯上,常称F(s)为f(t)的象函数,记为F(s)=L[f(t)];称f(t)为F(s)的原函数,记为ft=L-1[F(s)].
函数变换对和运算变换性质 利用定义积分,很容易建立起原函数 f(t)和象函数 F(s)间的变换对,以及f(t)在实数域内的运算与F(s)在复数域内的运算间的对应关系.表1和表2分别列出了最常用的一些函数变换对和运算变换性质.
如果定义:
f(t),是一个关于t,的函数,使得当t0,;
f(t)
= mathcal ^ left
=frac int_ ^ F(s),e^ ,ds
c,是收敛区间的横坐标值,是一个实常数且大于所有F(s),的个别点的实部值.
为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换.对一个实变量函数作拉普拉斯变换,并在复数域中作各种运算,再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果,往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多.拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效,它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理,从而使计算简化.在经典控制理论中,对控制系统的分析和综合,都是建立在拉普拉斯变换的基础上的.引入拉普拉斯变换的一个主要优点,是可采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性.这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性(见信号流程图、动态结构图)、分析控制系统的运动过程(见奈奎斯特稳定判据、根轨迹法),以及综合控制系统的校正装置(见控制系统校正方法)提供了可能性.
用 f(t)表示实变量t的一个函数,F(s)表示它的拉普拉斯变换,它是复变量s=σ+j&owega;的一个函数,其中σ和&owega; 均为实变数,j2=-1.F(s)和f(t)间的关系由下面定义的积分所确定:
如果对于实部σ >σc的所有s值上述积分均存在,而对σ ≤σc时积分不存在,便称 σc为f(t)的收敛系数.对给定的实变量函数 f(t),只有当σc为有限值时,其拉普拉斯变换F(s)才存在.习惯上,常称F(s)为f(t)的象函数,记为F(s)=L[f(t)];称f(t)为F(s)的原函数,记为ft=L-1[F(s)].
函数变换对和运算变换性质 利用定义积分,很容易建立起原函数 f(t)和象函数 F(s)间的变换对,以及f(t)在实数域内的运算与F(s)在复数域内的运算间的对应关系.表1和表2分别列出了最常用的一些函数变换对和运算变换性质.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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