题目

已知函数f（x）=（2mx-m^2+1）/(x^2+1）,函数f（x）的单调区间与极值

提问时间：2020-12-27

答案

对f(x)求导,
f'(x)=(-2mx^2+2xm^2-2x+2m)/(x^2+1)^2,改写为
-2m[(x-(m^2-1)/2m)^2-(m^2+1)^2/4m^2],然后讨论导函数的符号.
分类讨论:
m>0时,(x-(m^2-1)/2m)^2-(m^2+1)^2/4m^2<0,f(x)递增,即f(x)在(-1/m,m)上单调递增,其他区间单调递减,f(x)在(m^2-1)/2m取到极值,极值为0；
m<0时,(x-(m^2-1)/2m)^2-(m^2+1)^2/4m^2>0,f(x)递增,f(x)在(m,-1/m)上单调递减,其他区间单调递增,f(x)在(m^2-1)/2m取到极值,极值为0.