题目

一初中数学题（2004全国联赛）
已知方程x*x-6x-4n*n-32n=0的根都是整数,裘整数n的值.
keys：n=10,0,-18,-8

提问时间：2020-12-27

答案

用求根公式：n=（32±√△）/(-8),△=32^2-4(-4)(x^2-6x)
化简得:n=(8±√(x^2-6x+64))/(-2),由于题目说求整数n的值,所以
√(x^2-6x+64）是整数.
而x^2-6x+64=(x-3)^2+55=k^2,k是整数.所以(k+(x-3))(k-(x-3))=55,由于k和x都是整数,所以只有以下的几种可能：
k+x-3=55,11,5,1,-1……
k-x+3=1,5,11,55,-55……
只要将上面2个式子相加,就可以发现,无论哪种情况,
√(x^2-6x+64）=√(k^2)显然只有2个值：6和28,把这个结果带入求根公式可得n=10,0,-18,-8