题目

在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点P（m，-1）（m＞0）．连接OP，将线段OP绕点O按逆时针方向旋转90°得到线段OM，且点M是抛物线y=ax²+bx+c的顶点．
（1）若m=1，抛物线y=ax²+bx+c经过点（2，2），当0≤x≤1时，求y的取值范围；
（2）已知点A（1，0），若抛物线y=ax²+bx+c与y轴交于点B，直线AB与抛物线y=ax²+bx+c有且只有一个交点，请判断△BOM的形状，并说明理由．

提问时间：2020-12-26

答案

（1）∵线段OP绕点O按逆时针方向旋转90°得到线段OM
∴∠POM=90°，OP=OM
过点P（m，-1）作PQ⊥x轴于Q，过点M作MN⊥y轴于N，
∵∠POQ+∠MOQ=90°
∠MON+∠MOQ=90°
∴∠MON=∠POQ
∴∠ONM=∠OQP=90°
∴△MON≌△OPQ
∴MN=PQ=1，ON=OQ=m
∴M（1，m）
∵m=1
∴M（1，1）
∵点M是抛物线y=a（x-1）²+1
∵抛物线经过点（2，2）
∴a=1
∴y=（x-1）²+1
∴此抛物线开口向上，对称轴为x=1
∴当x=0时，y=2，
当x=1时，y=1
∴y的取值范围为1≤y≤2．
（2）∵点M（1，m）是抛物线y=ax²+bx+c的顶点
∴可设抛物线为y=a（x-1）²+m
∵y=a（x-1）²+m=ax²-2ax+a+m
∴B（0，a+m）
又∵A（1，0）
∴直线AB的解析式为y=-（a+m）x+（a+m）
解方程组

y＝ax2−2ax+a+m y＝−(a+m)x+(a+m)

得ax²+（m-a）x=0
∵直线AB与抛物线y=ax²+bx+c有且只有一个交点，
∴△=（m-a）²=0
∴m=a
∴B（0，2m）．
在Rt△ONM中，由勾股定理得
OM²=MN²+ON²=1+m²
∴BM=OM
∴△BOM是等腰三角形．

（1）分别过P、M作x、y轴的垂线，设垂足为Q、N；通过证△MON≌△OPQ，可求出MN、ON的长，即可得到M点的坐标；根据M点的坐标，即可求出抛物线的解析式；结合自变量的取值范围及抛物线的对称轴方程即可求得y的取值范围；
（2）在（1）中已经求得M（1，m），可用a、m表示出抛物线的解析式（顶点式），进而可求出B点的坐标；用待定系数法即可得到直线AB的解析式，联立直线AB与抛物线的解析式，由于两个函数只有一个交点，那么所得方程的△=0，由此可求出m、a的关系式，即可用m表示出B点的坐标，然后分别求出△BOM的边长，然后判断△BOM的形状．

本题考点：二次函数综合题．

考点点评：此题考查了图形的旋转变换、全等三角形的判定和性质、函数图象交点坐标的求法以及等腰三角形的判定等知识．