题目

已知(a+b)^n的展开式中,第二、第三、第四项的系数成等差数列,求展开式中的倒数第3项.

提问时间：2020-12-26

答案

由(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)*b+C(n,2)a^(n-2)*b^2+...+C(n,n)b^n
得,第二、第三、第四项的系数分别是 C(n,1), C(n,2), C(n,3)
∵它们成等差数列
∴C(n,1)-C(n,2)=C(n,2)-C(n,3)
化简 n-1/2*n*(n-1)=1/2*n*(n-1)-1/6*n*(n-1)*(n-2)
n-n*(n-1)=1/6*n*(n-1)*(n-2)
n^2-9n-14=0
(n-7)*(n+2)=0
∴n=7 或 n=-2(不合题意,舍去)
从而 展开式中的倒数第3项为 C(n,5)a^(n-5)*b^5=C(7,5)a^(7-5)*b^5
∵C(7,5)=C(7,2)

∴ C(7,5)a^(7-5)*b^5=C(7,2)a^(7-5)*b^5
=7*6/2*a^2*b^5
=21a^2b^5
∴展开式中的倒数第3项21a^2b^5.